⚛️ 重整化群（RG）是一种源于量子场论，现已广泛应用于多领域（如统计物理、非线性动力学、人工智能）的理论工具。其核心思想是在多尺度系统中寻找普适规律和有效变量，以简化复杂性并理解系统在不同尺度下的行为变化。
🌐 RG的发展历程经历了从量子场论中解决积分发散问题（通过正则化和参数重整化）到统计物理中理解临界现象（如Kadanoff的“块自旋”概念）的演变，再到Kenneth Wilson的系统化发展和其在凝聚态物理中的重要应用，以及后来在非平衡体系和微分方程分析中的推广。
🧠 理解重整化群的关键在于掌握其在不同尺度下保持系统不变性的思想，并建议初学者从统计物理中的“块自旋”模型入手，再转向微分方程中的重整化方法，这样可以更直观地理解其本质，而非从复杂的量子场论开始。
🚀 重整化群的未来发展将与复杂系统研究紧密结合，特别是在脑科学、人工智能、社会系统等领域，旨在解释复杂系统的运动规律并实现更有效的计算与分析。目前在人工智能领域已发现RG与深度学习的类比，但仍需转化为实际性能提升。
💡 重整化群在复杂系统研究中的作用在于，通过目标导向的简化方法，从高维、非线性的复杂体系中提取最重要的变量，用以描述系统的主要行为。例如，在气候系统研究中，RG有望解释为何少量方程能精确描述复杂现象，如厄尔尼诺现象。
原创 兰岳恒 2025-11-05 19:22 上海
在多尺度系统中寻找普适规律与有效变量
导语
重整化群作为20世纪最具影响力的理论工具之一，已从量子场论扩展至统计物理、非线性动力学乃至人工智能领域。其核心思想是在多尺度系统中寻找普适规律与有效变量，正契合当代科学对复杂性的理解需求。本期我们访谈北京邮电大学兰岳恒教授来分享如何用重整化群来读懂复杂系统。未来，若能将重整化群的理论深度与现代计算方法相结合，它将不仅是解释自然规律的工具，也可能成为推动人工智能与复杂系统研究前进的重要动力。
认识重整化群 | 不变性下的系统规则演化
Q1：什么是重整化群？：重整化群（Renormalization Group）是一个发展历史相当悠久的理论，到现在大概已经有七八十年的时间了。它最早起源于量子场论，研究的是物理体系在不同时间或空间尺度下，不同层次之间的关系。换句话说，它关注的是当我们改变观察尺度时，物理规律会以什么方式发生变化。这是传统统计物理教材中的表述。但近年来，重整化群的思想有了新的发展。实际上，在任何连续群的框架下，我们都可以去看重整化群是如何起作用的。Q2：重整化群的发展脉络如何？：重整化群最早是从量子场论中发展起来的。当时人们在做微扰展开时发现积分项会发散，这是一个很大的问题。为了解决这个问题，他们提出了所谓的正则化（regularization）方法，通过改变积分的上下限，让结果成为有限值。但这个有限值通常仍然很大，与微扰应当是“小修正”的要求不符。于是人们想到，可以把这些微扰的值吸收到理论参数里去，这一过程就被称为参数的重整化。后来人们发现，这个过程可以形成一种系统的计算和分析框架，也就是重整化群。最初，重整化群只是量子场论计算中的一个技巧，但后来它的思想被引入统计物理和凝聚态物理中。研究相变的人发现系统存在标度律（scaling law），Benjamin Widom 和 Leo Kadanoff 就借鉴了重整化群的思路，提出了“块自旋”（block spin）的概念：把小尺度的自由度做平均，再把平均的效果反映到参数中，然后不断重复这一过程。这样就可以逐步简化系统，理解临界现象。之后，Kenneth Wilson 对这一方法进行了更系统的发展，并成功应用于凝聚态物理的复杂计算中，取得了极其重要的成果，因此在1982年获得了诺贝尔物理学奖。后来，重整化群也被推广到非平衡体系，比如动力学重整化群（Dynamic RG）。在1990年代，Nigel Goldenfeld 和日本学者 Oono（都在伊利诺伊大学香槟分校）把重整化群的思想引入到微分方程的分析中，写了一系列非常精彩的文章。他们用重整化群统一了很多渐近分析的方法，使得整个理论在数学和动力学层面上都得到了进一步的发展。Q3：理解重整化群的关键是什么？：我学习重整化群大概花了十年以上。其实我很早就知道重整化群，也掌握量子场论和统计物理里的做法，但总觉得差那么一点，没有真正理解。真正完全理解，是在我学习了微分方程中的重整化方法之后。那时我突然觉得明白了，再也不需要额外的概念帮助。我当时读了一本印象非常深的书，Eugene Wigner 的 Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra，对我理解重整化群帮助非常大。如果让我给出学习建议，我不建议从量子场论开始。可以从统计物理中的“块自旋”模型（Kadanoff）入手，那是最直观、最容易理解的途径。接着，可以直接转向微分方程中的重整化方法。那个领域的前置知识要求比较少，可以集中精力理解重整化群的本质思想。一旦在微分方程的框架下理解了重整化群，再回头看场论或统计物理中的内容，很多以前觉得复杂的地方都会变得清晰。当然，如果真的要做计算，会很麻烦，比如圈图展开等。但其实圈图展开和重整化群可以毫无关系，只是当年我也花了不少时间在上面。很多知识其实是绕远路的。动力学的重整化群，反而让你能更直接地理解核心思想。Q4：重整化群在不同领域如何被应用？：重整化群最早用于量子场论，后来扩展到统计物理、动力学、甚至混沌理论。虽然这些领域表面上看差别很大，但它们背后的精神实质是一致的。总体上，重整化群的目标是提取出系统中相关变量（relevant variables），即那些对目标结果真正起作用的变量。通过提取这些变量并简化体系，我们就能用更少的自由度描述系统的关键性质。不同领域的目标虽然不同，但思路是一样的。在统计物理中，目标是保持配分函数不变；在量子场论中，是保持散射矩阵不变；在动力学系统中，则是保持最终状态或轨迹不变。所以重整化群的方法本质上是相同的，只是每个领域的“保持不变”的对象不一样。用重整化群理解复杂系统
Q5：重整化群下一步的发展是什么？：下一步的进展，一定是要和复杂系统的研究结合起来。也就是说，能不能用重整化群去解释复杂系统的运动规律，或者帮助我们更有效地进行计算和分析。复杂系统包括脑科学、人工智能、社会系统、生物生态系统等等。这些都是当前科学中最复杂、最热门的对象。如果重整化群能在这些系统中得到有效应用，我认为它会迎来新的发展阶段。目前，在人工神经网络和脑科学领域已经有一些相关研究。尤其在人工智能中，研究者发现重整化群和深度学习之间存在精确的类比。例如，Restricted Boltzmann Machine（RBM）与重整化群可以一一对应，这类研究已经发表在 Nature Physics 等期刊上。对于更一般的深度学习网络，也可以找到类似的类比。不过，这些研究目前还主要停留在理论层面。虽然类比本身能带来一些新的认识，但并没有真正提高AI的性能，也没有改善模型的收敛速度。因此在工业界的关注度并不高。未来如果我们能把这种理解转化为“生产力”，让它在性能上带来实际提升，我想重整化群会重新受到重视。Q6：重整化群与复杂系统有何联系？：复杂系统建模面临的最大问题是高维度和非线性。系统可能随着参数或外部条件的变化出现定性的跃迁。虽然可以通过大规模模拟去“暴力”求解，但那并不能带来理解。要想更高效地分析复杂系统，就必须进行简化，而这种简化应该与研究目标直接相关。重整化群正好是一种以目标为导向的简化方法。它能够从复杂、多单元的体系中提取最重要的变量，用这些变量来描述系统的主要行为。未来的关键问题，是如何将不同层次上的描述重新拼合，形成一个完整的整体认识。这正是重整化群能够发挥作用的地方。Q7：请举例说明重整化群，能在复杂系统发挥什么作用？：如果我们能找到一个好的例子，重整化群的研究可能马上就会重新火起来。我能想到的一个例子是关于气候系统的。一篇发表在 Nature 上的研究指出，他们只用了十几个方程，就能很好地描述并预测厄尔尼诺现象。相比之下，传统的气候模拟需要几百万个方程，仍然难以得到准确结果。重整化群的思想，就有可能解释这种“方程数的极大简化”。如果我们有一个非常复杂的高维模型，通过重整化群的粗粒化（coarse-graining）过程，逐步简化，最终得到一个能描述主要现象的低维有效模型——那就可能解释为什么十几个方程就足够描述整个气候系统。这个例子目前还只是一个想法，那篇文章的作者并没有用重整化群的框架去做。如果我们能够用RG方法去复现他们的方程，我认为那将是一项非常有意义的工作。Q8：目前重整化群应用受限的原因是什么？：我认为目前最大的限制在于，大家对“动力学重整化群”还不够熟悉。多数人熟悉的是统计物理中的平衡系统做法，但对非平衡体系——比如人脑、人工神经网络、复杂社会系统等——如何应用重整化群，还缺乏深入研究。要想真正把重整化群用到复杂系统研究中，必须在动力学方向上有新的突破。这是必经之路。Q9：复杂系统建模还有哪些，有潜力的理论？：我目前的主要研究方向，都是围绕“如何解析复杂系统”展开的。重整化群当然是一个重要方向，但还有其他几个理论同样值得关注。首先是 Koopman算子理论。它偏向数值方法，强调如何从数据中提取重要的动力学模式；而重整化群则更偏解析。其次是 非线性动力学。任何研究复杂系统的人，如果不懂非线性动力学，我都会觉得奇怪。里面的分岔理论（bifurcation theory）、几何图像、几何化思维都非常重要。最后我想特别提一下符号动力学。我认为它在未来的复杂系统和人工智能研究中都会发挥极大作用。符号动力学可以用非常简洁的方式描述动力学系统，不依赖坐标变换，也就是说无论系统经历怎样的变换，它的符号描述是不变的。这是一个非常好的性质。它能很好地描述信息的获取、传输、转换和整合过程（integration），这些都是复杂系统研究的核心问题。我自己现在也正在尝试往这个方向走。本文根据访谈内容进行了书面化整理，内容删减仅涉及重复表述与非核心细节。本文为科普中国创作培育计划作品受访者：兰岳恒 北京邮电大学物理科学与技术学院教授创作团队：集智俱乐部审核专家：张江 北京师范大学系统科学学院教授出品：中国科协科普部监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司
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