近日，由香港大学、北京大学和新加坡国立大学研究人员组成的团队，在该领域取得重要进展。他们提出了一种全新的量子算法，通过巧妙地利用开放量子系统的自然耗散特性来求解线性微分方程。理论分析表明，该算法在多个关键参数上的效率达到了“近乎最优”，超越了现有方案。相关论文《Designing a nearly optimal quantum algorithm for linear differential equations via Lindbladians》已发表于物理学顶级杂志《Physical Review Letters》。

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求解线性微分方程是量子计算有望展现优势的应用场景之一。其挑战根源在于，描述大多数物理过程的微分方程，其系数矩阵通常为非厄米矩阵，导致时间演化算符是非幺正的。这意味着系统可能存在能量耗散或增益。

然而，量子计算机的硬件运行基于幺正演化。此前的主流量子算法，或通过复杂的线性系统求解间接处理，或通过“块编码”将非幺正算符嵌入一个更大的幺正算符的子空间中。这些方法如同“翻译”过程，虽能解决问题，但往往会引入额外的计算开销，使得算法效率未能达到理论预期的最优水平。

创新路径：从“对抗耗散”到“利用耗散”

面对这一困境，研究团队转换了思路——与其设法在封闭系统中“模拟”耗散，不如直接利用开放量子系统固有的非幺正动力学。

他们引入了名为 “非对角密度矩阵编码” 的核心技术。该技术将微分方程的解，编码在一个辅助量子比特与系统耦合所形成的密度矩阵的非对角块中。这一做法巧妙地绕过了密度矩阵本身需为厄米正定的限制，从而能够通用地编码任意线性微分方程的解。

基于此编码方案，研究者构建了一个对应的林布拉德方程。该方程描述了一个量子系统与环境的相互作用。其中，微分方程系数矩阵的反对称（振荡）部分被映射为系统的内部哈密顿量，而对称（耗散）部分则自然地由环境引入的量子跳跃算符所描述。

通过这种方式，目标微分方程的求解过程，被精确地转化为一个开放量子系统的自然演化。演化结束时，其解即存储在末态密度矩阵的特定位置，可通过进一步的量子测量或幅度放大技术提取。

研究团队对算法复杂度进行了详细分析，并与现有量子算法进行了全面对比。

结果表明，在一种更为自然的“平方根输入模型”下，新算法在三个关键参数——模拟时长T、解的范数η_T 和精度ε——上的依赖关系，均达到了已知的理论下界，即实现了“近乎最优”。

具体而言，算法对初始态制备的查询复杂度为最优的O(ηₜ⁻¹)。同时，其对问题矩阵的查询复杂度为Õ(ηₜ⁻¹αᴠ T log(1/ε) / log log(1/ε))，在时间T上实现了线性依赖，优于部分算法的二次依赖，且在误差ε上的依赖也达到了理论极限。