🔬 **粒子全同性的物理界定与简并压体现**：文章核心探讨了“全同性”在物理学中的界定，并提出其物理意义在于全同费米子遵循泡利不相容原理，导致简并压。作者通过在一维相互作用费米子系统中的具体计算，验证了当粒子内禀可区分分量越多（全同性越低），体系的简并压越小，甚至在w→∞时简并压消失。这表明全同性并非仅是哲学思辨，而是可以通过体系的简并压体现并被实验观测。

🤝 **与杨振宁先生的合作经历与教诲**：作者回忆了十五年前在杨振宁先生指导下解方程并合作发表论文的经历。这段时光是作者离先生最近的时刻。杨先生不仅在研究中提供了关键的数学证明和指导，更以其严谨的态度和深邃的思维，教会作者“真正的物理问题，必须能在自然中留下印记”，深刻影响了作者对研究的品味和方向。

🌟 **杨振宁先生的治学风范与育人精神**：文中详细描述了杨振宁先生在合作研究中的卓越表现，包括他亲手证明关键定理，并以“循循善诱”的方式引导作者独立思考，甚至预见到作者可能遇到的“漏洞”并提供“补法”。这种严谨、远见和对后辈的关怀，让作者深切体会到大师的功力，并感念先生的教导，将其化为自身前行的动力。

尤亦庄 2025-10-27 15:32 上海

尤亦庄：加州大学圣地亚哥分校物理副教授，研究量子多体与AI。

15年前与先生合作的文章

十五年前，我曾在杨先生的指导下解过几个方程，成果发表于《中国物理学快报》。那是我离先生最近的一段时光。能蒙先生提点，实为晚辈之幸。如今先生已驾鹤西去，音容笑貌，仍历历在目。愿在今后的科研道路上，谨记先生教诲，笃志前行，不负期望，以学术之进步告慰先生在天之灵。

借此机会简要介绍一下杨先生和我的这篇工作。这篇文章试图回答一个有趣的问题：粒子的全同性应如何界定。费曼在讲义里写道：

By identical particles we mean things like electrons which can in no way be distinguished one from another.

我们无法分辨处于同一空间中的两个电子——虽然两个电子可能处于不同的空间坐标，但仍被视为全同费米子而不可区分。但有小伙伴要问了：那么电子除了坐标，还有自旋这个内禀自由度。坐标不同的电子是全同的，那么自旋不同的电子是否仍算全同？进一步地，质子和中子虽然带有不同电荷或同位旋，它们能否被视为全同费米子？如此推论下去，是否意味着所有费米子在本质上都可以看作全同？那么全同性的意义究竟何在？初学量子力学的我，曾经被这个问题深深困扰。

何谓“相同”，何谓“不同”？ 如何从物理而非哲学的角度界定？

全同性的物理意义在于：全同费米子因泡利不相容原理而不能占据同一量子态，从而在空间中体现出一种排斥效应。这种排斥在宏观上表现为简并压——即费米气体即使在零温下也对外施加压力。将 N 个全同费米子置于容器中，容器壁将感受到这种简并压，其大小可定量计算：在一维系统中，简并压与费米子密度的三次方成正比。

如果这些费米子并非完全相同，而是可以分为w类可区分的组分，则在总密度不变的情况下，每类的简并压按密度的三次方减少，体系的总体简并压随之下降。换言之，简并压的大小反映了粒子“全同性”的程度：内禀可区分分量越多（即全同性越低），简并压越小。当分类数w→∞ 时，全同性丧失殆尽，费米子体系的简并压会完全消失，表现得如同玻色子体系一般。本文的主要结果是，通过具体计算验证，这一结论在一维相互作用费米子系统中普遍成立。这说明了，费米子的全同性可通过体系的简并压体现出来，并被实验观测验证，而不仅仅是哲学上的思辨。

也正是在这段研究中，我第一次深切体会到，物理学之美不在于抽象推演，而在于让思想落地于可验证的现象。杨先生常以严谨的态度提醒我：真正的物理问题，必须能在自然中留下印记。这样的影响，至今仍塑造着我对研究的品味与方向。

能得杨先生指导的那段时光，既是幸运，也是挑战。

幸运的是，我们的合作源于一次美丽的巧合。那时，杨先生重新拾起四十年前就思考过的这个问题，想用 Mathematica 数值求解当年列出的方程——或许是当年计算资源有限，未能深入。当时我刚入学，还没有明确的课题，便被安排去协助杨先生。先生向我展示了那些方程，我当场用 Mathematica 演算出了解，先生看后颇为满意，笑着说：“那不如就由你来继续这些数值研究吧。”于是，这段意外而珍贵的合作就这样开始了。

挑战在于，杨先生的思维之深、眼界之广，让我必须全力以赴才能勉强跟上。文章中有一个关键定理是由先生亲自证明的。为了让我得到锻炼，他并没有直接告诉我证明，而是鼓励我自己去思考。经过整整一夜的推敲，我终于找到一个自以为完美的证明，兴奋地写信向先生汇报。第二天，先生回信道：“你的思路正确，不过这里有个小漏洞……我猜到你会在这里栽跟头，所以已经写好了补法，你拿去看看。”那一刻，我真切地感受到大师的卓识远虑与深厚功力，也感念他对后辈那种循循善诱又亲力亲为的教导。

回望往事，既倍感荣幸，又深怀思念。先生的学识与风范，如灯塔般照亮了我科研的方向；他的严谨与慈和，将永远留存在记忆中，化作我继续前行的不竭力量。

附录：杨振宁先生部分手迹文稿选页

附1：杨振宁先生手书信件，嘱咐论文符号修改与数值计算任务（字迹较黑部分为我后加注之笔记）。

附2：杨振宁先生亲笔推导笔记。先生亲自讲解能量密度展开及无量纲化处理的数学推演。字里行间足见先生思路之清晰，亦体现他欲言传身教之思想方法----取近似之法窥物理精微，于极限之中见规律本然。

附3：杨振宁先生亲笔推导笔记（续）。

附4：杨振宁先生在清华大学作报告，介绍我们合作完成的研究成果——关于一维 k 组分费米子与玻色子体系在 N 趋于无穷时的理论极限。图为报告幻灯片首页。

2022年诺贝尔物理学奖授予了关于量子信息科学的基础性研究。一百多年前，量子革命为我们带来了晶体管和激光，今天，操作纠缠粒子的技术正在让我们进入一个新的量子信息时代。集智俱乐部长期关注量子科学及其在前沿交叉领域的应用，包括量子力学与机器学习、量子生物学、量子因果、量子金融等，并沉淀了一系列相关主题的文章和学习资料，参见“物理主题文章合集”与“量子世界地图”。欢迎感兴趣的朋友和我们一起探索！

详情请见：尤亦庄：Quantum Mechanics | 英文系列课程

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