2025-10-09 14:30 湖南
伊辛模型的恩斯特·伊辛肖像神经网络如何汲取物理学的灵感上期没有展开聊的伊辛模型。
伊辛模型的恩斯特·伊辛肖像
导语
伊辛模型作为统计物理学中的经典框架，不仅成功解释了铁磁材料的相变现象，更在量子计算、优化算法和艺术创作等领域展现出惊人的跨界潜力。本文带您穿越百年科学史，从伦茨和伊辛的原始构想出发，探索该模型如何从解释磁性的简单工具，发展为连接量子计算与艺术纹理生成的通用语言。
什么是伊辛模型 Ising Model？
🌟 **伊辛模型的起源与发展：** 最初由威廉·伦茨提出，恩斯特·伊辛在1925年分析其一维形式。尽管初步分析未能完全解释铁磁性，但后来的二维模型精确解揭示了丰富的相变行为，确立了其在理论物理学中的基石地位。量子版本的引入，通过横向磁场，使其能够研究量子涨落与相互作用能的竞争，尤其在量子相变研究中。
💡 **伊辛模型在优化与量子计算中的应用：** 模型通过将硬组合问题转化为最小化能量的问题，为寻找最优解提供了框架。二元决策变量映射到自旋，目标函数映射到局部域和耦合，使得QUBO系列问题（如Max-Cut、路由、投资组合选择等）得以解决。在量子计算中，它常被用作量子退火和绝热量子计算的驱动哈密顿量，以及QAOA算法的成本函数，成为解决现实世界优化问题的通用编码。
🎨 **伊辛模型在艺术创作中的创新应用：** 受启发于 Yannick Meurice 的研究，伊辛模型被用于生成类似水彩版画的纹理。通过在模型中应用外部磁场和控制温度，甚至将图像（如爱因斯坦肖像）作为非均匀外部磁场输入，可以产生独特的视觉效果。文章进一步展示了如何通过热梯度和将恩斯特·伊辛的肖像作为输入，利用伊辛模型创造出富有艺术感的“元”肖像，庆祝该模型诞生百年。
🔬 **数学证明与普适性：** 数学家们已证明，在相变临界点，物理系统普遍存在一种强大的对称性——共形不变性，它包含平移、旋转和尺度不变性。特别是旋转不变性在多种物理模型（如伊辛模型和渗流模型）的临界点被严格证明，揭示了不同物理系统在相变过程中呈现相似模式的普适性，为理解复杂系统的共性提供了理论基础。
2025-10-09 14:30 湖南
伊辛模型的恩斯特·伊辛肖像神经网络如何汲取物理学的灵感上期没有展开聊的伊辛模型。
导语
伊辛模型作为统计物理学中的经典框架，不仅成功解释了铁磁材料的相变现象，更在量子计算、优化算法和艺术创作等领域展现出惊人的跨界潜力。本文带您穿越百年科学史，从伦茨和伊辛的原始构想出发，探索该模型如何从解释磁性的简单工具，发展为连接量子计算与艺术纹理生成的通用语言。
什么是伊辛模型 Ising Model？
动画模拟伊辛模型？
动画模拟 | 伦茨对磁体建模的洞见与伊辛的论文来源：J. van SadersMetropolis-Hastings算法
Metropolis算法的强大之处在于认识到，有时候你需要先走错方向，才能最终到达目的地。在伊辛模型中，随机或算法选择一个自旋点并计算其能量。然后翻转该自旋并计算新能量。如果新能量更低，则接受翻转的自旋（使整个自旋系统的能量状态降低）。然而，不是直接拒绝较高能量状态，而是根据能量差异和一个比例因子，以一定概率接受较高能量状态。Metropolis-Hastings算法流程图来源：J. van Saders这个简单算法通过偶尔“走错路”避免陷入局部能量最小值！上述比例因子通常与温度的倒数相关。这导致在高温下接受较高能量状态的概率更大，从而模拟了热诱导自旋翻转的效果（参见维基百科作为了解底层数学的起点）。相变区域
以一个200×200自旋点的环面为例，可以将其展开为具有周期边界条件的二维平面（即顶部边缘实际上与底部边缘相邻）,下面的图像展示了温度的影响。在每种情况下，初始自旋是随机的，进行了100次迭代，每次迭代以随机顺序更新所有点，使用Metropolis-Hastings算法。伊辛模型的单调（T<Tc）、有趣（T=Tc）和混乱状态（T>Tc）。（来源：J. van Saders）拉尔斯·昂萨格（Onsager 1944）证明了上述二维模型在临界温度Tc（约为2.269）以上从有序到无序发生相变。从美学角度看，最有趣的图案出现在临界温度Tc处。低于此温度是单调的均匀性，高于此温度则是混乱。一般来说，最有趣的事情发生在均匀与混乱的边界处。用伊辛模型创造纹理
Yannick Meurice（Meurice 2022）最近发表了一篇有趣的论文（本文的灵感来源！），展示了如何使用伊辛模型生成类似水彩版画的纹理。他通过在伊辛模型中应用外部磁场和选择温度展示了这一点。温度的影响已在上面展示，但外部磁场尚未讨论。伊辛模型允许对自旋偶极子集合施加外部磁场。应用的简化通常省略外部磁场。Meurice巧妙地使用非均匀外部磁场在自旋状态阵列上施加图像，在他的案例中是阿尔伯特·爱因斯坦的肖像。虽然Meurice讨论了使用非均匀温度分布的想法，但他将其留作学生的练习。本文接受了这个任务。通过磁化施加图像
对于研究的200×200阵列，一个+1自旋（以白色表示）的正方形创建了外部磁化模式。经过100次迭代，最初随机的自旋演变为最终状态，展示出通过将温度设为Tc而形成的纹理。在T=Tc时施加非均匀外部场（来源：J. van Saders）通过热梯度施加纹理变化
在伊辛模型上施加热梯度（来源：J. van Saders）在阵列上施加了从5（右上角）到1（左下角）的热梯度，其中临界温度约为2.269。尽管存在周期边界条件（即顶部和底部边缘实际上是相邻的），但温度梯度影响每个点接受较高能量状态的概率。因此，效果创建了跟随热梯度的纹理。由此产生的伊辛状态图让我想起了海岸线波浪的高对比度图像。艺术中最著名的波浪是日本浮世绘艺术家葛饰北斋的木版画《神奈川大浪》（1831）。其分形性质似乎与伊辛模型域结构的缩放有相似之处。构建了一个粗糙的《大浪》掩模图像，并用作热图：《大浪》的伊辛模型。来源：J. van Saders虽然这种方法显然需要改进，但你可以看到波浪尖端形成的 интересная текстура 模式具有一定潜力。在展示了使用伊辛模型的磁化和热梯度后，是时候进入正题了……恩斯特·伊辛的伊辛模型肖像
来自AIP Emilio Segrè视觉档案的原始肖像，用于提取面部区域。（来源：J. van Saders）由于阵列限于200×200个点，仅使用了上述伊辛肖像的面部区域。提取的区域被阈值化以创建二值图像，并对其应用了一些侵蚀和膨胀操作以获得更好的图像。然后将二值图像缩放到[-1, +1]自旋。使用了上述相同的热梯度，得到了伊辛模型的一对非均匀输入：伊辛模型的外部磁化和热梯度输入丨来源：J. van Saders从随机初始状态开始，Metropolis-Hastings算法迭代100次。最终状态在伊辛模型中呈现了恩斯特·伊辛的有趣渲染。伊辛-伊辛元肖像丨来源：J. van Saders结论
本文受Yannick Meurice的启发，展示了伊辛模型如何为图形艺术创造有趣的纹理。遵循他的思路，创建了恩斯特·伊辛的“元”肖像，以庆祝这一具有普适属性的模型诞生100周年。
伊辛模型还在其他艺术项目中找到了应用。George Legrady的《伊辛模型：闪烁与多联画》使用阵列中睁开和闭合的眼睛，创建了伊辛阵列演变的电影：
理解和可视化重整化的一个很好的方法是伊辛模型。
数学家证明相变对称性的普遍存在
一组数学家证明，在临界时刻，一种称为旋转不变性的对称性是众多物理系统的普遍属性。这项关于多孔介质渗透模型的研究与近期相变对称性的重要工作相关。量子杂志专栏文章作者：Allison Whitten 特约撰稿人 2021年7月8日几何·数学物理·数学·相变·对称性·普适性·所有主题五十多年来，数学家们一直在寻找一种严格的方法来证明：当物理系统在从一种状态转变为另一种状态的神秘临界点时，一种异常强大的对称性具有普遍性。这种被称为共形不变性的强大对称性实际上包含三种独立的对称性。2020年12月，五位数学家团队发表的证明首次近乎证实了共形不变性是这些物理系统在相变过程中的固有特征。该研究确立了旋转不变性——共形不变性包含的三种对称性之一——在广泛物理系统相变临界点的存在。"这是重大贡献。这个开放性问题存在已久，"以色列魏茨曼科学研究所的Gady Kozma表示。旋转不变性是圆形具有的对称性：无论旋转多少度，它看起来都一样。在相变临界点的物理系统中，这意味着系统的许多特性在模型旋转后保持不变。先前的研究成果已证明旋转不变性在两种特定模型中成立，但其方法缺乏普适性。这项新研究首次证明旋转不变性在广泛模型类别中具有普遍性。"这种普适性结果更引人入胜"，因为它表明不同物理系统模型会呈现相同模式，法国高等科学研究所（IHES）和日内瓦大学的Hugo Duminil-Copin表示。他是该研究的五位合著者之一。这项研究也为证明更宏大的结果带来希望：这些物理模型具有共形不变性。过去几十年数学家已证明共形不变性在几个特定模型中成立，但始终无法证明其普遍性。这项新研究为此类全面结论奠定了基础。"这已是重大突破"，日内瓦大学的Stanislav Smirnov表示，"现在共形不变性似乎触手可及。"神奇时刻 相变是自然界最迷人的现象之一。有些相变剧烈，如水加热汽化或冷却结冰；而本研究关注的相变则存在模糊的临界区域。在这个临界点，系统既非前态亦非后态。以铁磁体加热为例：超过居里温度约540℃时，铁会失去磁性。这个转变源于数百万原子磁矩的随机翻转。伊辛模型将这个复杂过程简化为二维方格上的箭头阵列。1970年，物理学家Alexander Polyakov预测：尽管微观表现不同，这些系统在临界点都呈现共形不变性。此后数十年间，物理学家确信其正确性，但数学严格证明始终是难题。对称性之冠 共形不变性包含平移对称性、旋转对称性和尺度对称性。"我称之为'统御一切的对称性'，因为它比三者更强大，"Duminil-Copin解释道。在临界温度下，伊辛模型中原子关联距离突增，各种尺寸的磁畴同时涌现。共形不变性意味着此时对网格进行平移、旋转或缩放都不会改变箭头关联性。突破性进展 2001年，Smirnov首次严格证明渗流模型在三角格点上的共形不变性。2006年他又证明伊辛模型的共形不变性，这两项突破性工作助他获得菲尔兹奖。但这些证明都依赖特定模型的"魔法"特性。新研究采用概率论的耦合技术，结合可积系统理论，首次证明旋转不变性在方形和矩形格点渗流模型中的普遍存在。"需要多学科方法多角度攻关，"Duminil-Copin强调。最后征程 在证明旋转不变性后，研究团队将目标转向尺度不变性。若再证明这一点，结合已有的旋转不变性和无需单独证明的平移不变性，将最终确立共形不变性的普遍性。"第三步证明很快就会实现，"Duminil-Copin预测，"可能是我们，也可能是更聪明的人，但肯定为时不远。"虽然旋转不变性的证明耗时五年，但Smirnov对二维共形不变性的证明前景表示乐观："可能一周，也可能五年，但我比去年十一月乐观多了。"关键术语对照：conformal invariance → 共形不变性rotational invariance → 旋转不变性phase transitions → 相变critical point → 临界点Ising model → 伊辛模型percolation → 渗流universality → 普适性lattice → 格点注：专业术语保持学科规范译法。最后，但也许是最重要的事情，了解并知道模型的局限，因为人类比自旋系统复杂的多 ... 😄参考文献非平衡统计物理读书会
2024年诺贝尔物理学奖授予人工神经网络，这是一场统计物理引发的机器学习革命。统计物理学不仅能解释热学现象，还能帮助我们理解从微观粒子到宏观宇宙的各个层级如何联系起来，复杂现象如何涌现。它通过研究大量粒子的集体行为，成功地将微观世界的随机性与宏观世界的确定性联系起来，为我们理解自然界提供了强大的工具，也为机器学习和人工智能领域的发展提供了重要推动力。
为了深入探索统计物理前沿进展，集智俱乐部联合西湖大学理学院及交叉科学中心讲席教授汤雷翰、纽约州立大学石溪分校化学和物理学系教授汪劲、德累斯顿系统生物学中心博士后研究员梁师翎、香港浸会大学物理系助理教授唐乾元，以及多位国内外知名学者共同发起「非平衡统计物理」读书会。读书会旨在探讨统计物理学的最新理论突破，统计物理在复杂系统和生命科学中的应用，以及与机器学习等前沿领域的交叉研究。读书会已完结，现在报名可加入社群并解锁回放视频权限。
详情请见：从热力学、生命到人工智能的统计物理之路：非平衡统计物理读书会启动！
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