本课程聚焦于重整化群（RG）在非线性动力学中的应用， RG作为研究系统在变换下的不变性并实现简化的方法，不仅在相变研究中表现出色，在动力学领域也日益重要。通过识别时间演化的不变结构，RG能提取支配运动的低维子流形，实现降维和动态约化。课程将深入探讨子流形的概念，及其与机器学习原理的关联，并介绍如何从含参数的近似解中推导出RG方程。此外，还将讨论RG方法在处理微分方程、偏微分方程以及与认知科学、卷积神经网络等领域的交叉应用，并指出当前研究面临的关键挑战，包括如何将RG推广至高维系统、未知特征方向的构建以及融合动力学与统计方法。

📊 **重整化群的核心与动力学应用**：重整化群（RG）的本质是研究系统在群变换下的不变性，从而实现简化。虽然常用于相变研究，但其在非线性动力学中同样具有重要价值。在动力系统中，RG通过寻找时间演化的不变结构，提取出支配运动的低维子流形（如不变流形、稳定/不稳定流形），实现降维、粗粒化和动态约化。

✨ **子流形与机器学习的关联**：课程强调了与动力学约化紧密相关的子流形概念，指出这是当前研究机器学习原理的重点关注对象。理解和识别这些低维流形，可以大大降低复杂系统的分析难度，并有助于提取数据的主要特征，忽略无关细节。

📈 **从近似解到重整化群方程**：RG方程可以从包含参数的近似解中推导出来，通过正规级数展开并引入滑动基点，要求近似解对基点不依赖，从而推导出控制参数随时间或尺度演化的RG方程。这种方法能够捕捉我们关注的对象，并进行后续分析，其成立范围往往超出近似解的原始范畴。

🌐 **RG方法的广泛应用与挑战**：RG方法不仅适用于简单的常微分方程，还能处理更复杂的偏微分方程和多主体系统，并与认知科学、卷积神经网络等领域产生交叉。然而，当前研究仍面临挑战，包括如何将现有方案推广到更复杂的系统（如高维不变子流形）、在特征方向未知时构建适当的RG近似，以及如何同时将动力学和统计方法纳入同一RG框架。

2025-08-15 18:06 广东

2025月8月16日（周六） 9:00-11:00

主题： 非线性动力学的重整化群分析

课程简介

重整化群思想的核心还是群的概念，用其进行常见的相变研究只是一个广为人知的应用，而在动力学中的应用则是另一个正在成长的领域。在这里，群的应用主要与约化和不变结构相联系。所以我们首先讲述与动力学约化紧密相关的子流形的概念，这也是当前研究机器学习原理重点关注的对象。从系统包含参数的近似解中，我们可以得到重整化群方程，它脱胎于近似解，但很多时候成立的范围大大超出，因为它融入了群不变的性质。实际上，重整化群分析在很大程度上囊括了渐进分析的很多分支，量子力学中的WKB近似就是一例。

课程大纲

 

引言

降维与粗粒化：动力学系统经常需要通过 局部平均 或 增加粗粒化尺度 来定义合适的序参量，从而将高维系统的行为映射到低维子流形。这种子流形对动力学具有吸引或组织作用，被称为演化不变集。

物理和数学中的不变性： 物理定律通常具有 平移、旋转和尺度的不变性；通过诺特定理，这些不变性对应守恒律。数学上，线性系统及其线性化分析也依赖于不变性和李群对称性。

向非线性动力学的推广： RG方法关注的不仅是空间对称，还包括 时间尺度上 的不变性。通过研究常微分方程的向量场和轨道结构，可以找到不变集并实现动力学约化。

重整化群与微分方程

这一部分介绍如何从含小参数的微分方程中提取重整化群方程。通过正规级数展开并引入滑动基点，要求近似解对基点不依赖，可推导出控制参数随时间或尺度演化的 RG 方程。课程强调不变子流形的概念：许多复杂系统的长期行为集中在低维流形上，识别这些流形可大大降低分析难度。

正规级数展开与RG方程

动态不变子流形

洛特卡-沃尔泰拉竞争模型

柯西-施瓦茨不等式

更多延申

RG 方法不仅适用于简单常微分方程，还能处理更复杂的偏微分方程和多主体系统。

非线性偏微分方程

重整化群与认知科学

重整化群与卷积神经网络

总结

a. 课件总结了本节课提出的 RG 扩展方案，展示了其在确定不变轨道方面的成功应用，并指出它可以推广到更高维的不变流形。同时提出三个关键挑战：

如何将现有方案推广到更复杂的系统，包括高维不变子流形

当系统的特征方向（特征向量）未知时，如何构建适当的 RG 近似

如何同时将动力学和统计方法纳入同一 RG 框架，兼顾确定性动力学和随机波动

专业术语

重整化群、尺度变换、降维、粗粒化、对称性、不变流形、稳定流形、不稳定流形、特征方向、正规级数展开、重整化群方程、滑动基点、洛特卡‑沃尔泰拉模型、周期轨道、Kuramoto‑Sivashinsky 方程、自组织临界性、认知科学、卷积神经网络、傅里叶展开、模式不稳定性、渐近分析、WKB近似。

课程信息

课程主题：重整化群初步

课程时间：2025年8月16日（周六） 9:00-11:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学物理科学与技术学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

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你知道吗？费根鲍姆常数可以由重整化群计算，相变临界点可以由重整化方法得出，深度神经网络的多层计算就是在对图像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理规律变化的数学工具，帮助我们理解系统在大范围内或临界点附近的行为。集智学园联合北京邮电大学兰岳恒教授开设「重整化群分析在非线性物理中的应用」系列课程，系统讲述重整化群这一理论框架，怎样用来分析高维非线性系统的性质，实现方程的求解与约化。本系列课程将回答如下问题：

从有限的观测提取一般性规律建模的原则和常见框架是什么？

怎样写出系统重要结构和运动模式的近似解析表达式？

怎样将对称性、不变性、基本范式等先验知识放到系统解析描述中？

怎样建立系统不同层级动力学间联系的方程？

早鸟价最后两天！欢迎感兴趣的研究者加入课程。

详情可见：重整化群与非线性物理，寻找复杂系统跨尺度的分析方法丨新课发布

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